Approximation

Annäherung

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Ap|pro|xi|ma|ti|on 〈f. 20〉

1. Annäherung

2. 〈Math.〉 = Näherungswert

[zu lat. approximare „sich annähern“ <lat. ad „zu“ + proximus „der nächste“]

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Ap|pro|xi|ma|ti|on, die; -, -en [mlat. approximatio, zu lat. approximare = sich nähern]:

1. (bildungsspr.) Annäherung (an einen bestimmten Zielpunkt o. Ä.).

2. (Math.) Näherung, Näherungswert.

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Approximation

 

[zu kirchenlateinisch approximare »sich nähern«] die, -/-en,  

 1) Mathematik: Näherung, die angenäherte algebraische oder geometrische Bestimmung beziehungsweise Darstellung einer mathematischen Größe (Zahl, Funktion u. Ä.) durch einfachere mathematische Zusammenhänge. Mithilfe von Approximation lassen sich unbekannte oder nur kompliziert (beziehungsweise nicht exakt) darstellbare Größen (z. B. nichtperiodische Dezimalzahlen) annähernd berechnen und komplizierte Funktionen durch einfachere ersetzen. So kann man Kreisfläche und -umfang durch eine Folge von regelmäßigen, dem Kreis einbeschriebenen Vielecken beliebig gut approximieren (z. B. bei der Bestimmung der Zahl π nach der Exhaustionsmethode) oder eine Kurve durch eine einfachere andere Kurve annähern. Nach dem Approximationssatz von Weierstraß kann man jede in einem abgeschlossenen Intervall stetige Funktion durch ein Polynom beliebig genau approximieren (weierstraßsche Sätze, taylorscher Satz). Spezielle Verfahren zur Approximation von Funktionen sind die Interpolation, die Methode der kleinsten Quadrate oder das newtonsche Näherungsverfahren. Eine Approximation periodischer Funktionen durch Sinus- oder Kosinusfunktionen ist die harmonische Analyse. Die Konstruktion solcher (computergestützter) Approximationsverfahren ist insbesondere Gegenstand der numerischen Mathematik.

 

Bestimmte mathematische Aufgaben (z. B. Anfangs- oder Randwertprobleme) lassen sich nur »approximativ«, d. h. durch eine Approximation, lösen. Als sukzessive Approximation werden Verfahren bezeichnet, mit denen man schrittweise sich verbessernde Näherungswerte gewinnt (Iteration), z. B. bei der Bestimmung der Lösungen einer Differenzialgleichung. Prinzipiell soll der Fehler der Annäherung klein gehalten werden, und das Abweichungsmaß ist mit definierter Genauigkeit anzugeben. Mit der Untersuchung von Approximationen und deren Güte befasst sich die Approximationstheorie.

 

 2) Sozialwissenschaften: Verfahren der Rückführung sehr komplexer empirischer Sachverhalte auf »einfachere«, theoretische Aussagen.

 

 3) Stochastik: Annäherung einer schwierig zu berechnenden oder (z. B. durch eine Stichprobe) nur näherungsweise bekannten Verteilung durch eine einfach berechenbare Verteilung, z. B. eine Normalverteilung. Die theoretische Begründung für solche Approximationen liefern Grenzwertsätze (Grenzwert).

 

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Ap|pro|xi|ma|ti|on, die; -, -en [mlat. approximatio, zu lat. approximare = sich nähern]: 1. (bildungsspr.) Annäherung (an einen bestimmten Zielpunkt o. Ä.). 2. (Math.) Näherung, Näherungswert.